筛法

  1. 线性筛素数。
  2. 筛法求欧拉函数。
  3. 筛法求莫比乌斯函数。
  4. 筛法求约数个数：\(d_i\) 表示 \(i\) 的约数个数，\(num_i\) 表示 \(i\) 的最小质因子出现次数。
  5. 筛法求约数和：\(f_i\) 表示 \(i\) 的约数和，\(g_i\) 表示 \(i\) 的最小质因子和。
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namespace Sieve
{
    constexpr int N=100000;

    int vis[N+10],P[MAX],Pcnt;
    inline void Linear_Sieve()
    {
        for(int i=2;i<=N;++i)
        {
            if(!vis[i]) P[++Pcnt]=i;
            for(int j=1;j<=Pcnt&&i*P[j]<=N;++j) {vis[i*P[j]]=1; if(!i%P[j]) break;}
        }
    }

    int phi[N+10];
    inline void Phi_Sieve()
    {
        phi[1]=1;
        for(int i=2;i<=N;++i)
        {
            if(!vis[i]) P[++Pcnt]=i,phi[i]=i-1;
            for(int j=1;j<=Pcnt&&i*P[j]<=N;++j)
            {
                vis[i*P[j]]=1;
                if(i%P[j]) phi[i*P[j]]=phi[i]*phi[P[j]];
                else      {phi[i*P[j]]=phi[i]*P[j]; break;}
            }
        }
    }

    int mu[N+10];
    inline void Mu_Sieve()
    {
        mu[1]=1;
        for(int i=2;i<=N;++i)
        {
            if(!vis[i]) P[++Pcnt]=i,mu[i]=-1;
            for(int j=1;j<=Pcnt&&i*P[j]<=N;++j)
            {
                vis[i*P[j]]=1;
                if(i%P[j]) mu[i*P[j]]=-mu[i];
                else      {mu[i*P[j]]=0; break;}
            }
        }
    }

    int d[N+10],num[N+10];
    inline void D_Sieve()
    {
        d[1]=1;
        for(int i=2;i<=N;++i)
        {
            if(!vis[i]) P[++Pcnt]=i,d[i]=2,num[i]=1;
            for(int j=1;j<=Pcnt&&i*P[j]<=N;++j)
            {
                vis[i*P[j]]=1;
                if(i%P[j]) num[i*P[j]]=1,d[i*P[j]]=d[i]*2;
                else      {num[i*P[j]]=num[i]+1,d[i*P[j]]=d[i]/num[i*P[j]]*(num[i*P[j]]+1); break;}
            }
        }
    }

    int f[N+10],g[N+10];
    inline void Sum_Sieve()
    {
        f[1]=g[1]=1;
        for(int i=2;i<=N;++i)
        {
            if(!vis[i]) P[++Pcnt]=i,f[i]=g[i]=i+1;
            for(int j=1;j<=Pcnt&&i*P[j]<=N;++j)
            {
                vis[i*P[j]]=1;
                if(i%P[j]) f[i*P[j]]=f[i]*f[P[j]],g[i*P[j]]=P[j]+1;
                else      {f[i*P[j]]=f[i]/g[i]*(g[i]*P[j]+1),g[i*P[j]]=g[i]*P[j]+1; break;}
            }
        }
    }
}